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自然的微积分

来源:UC论文网2019-04-04 09:55

摘要:

  本栏目2018年第6期的故事中,鹏飞和浩天在古希腊街头见识了辩才芝诺的才能,分析了他提出的四个着名悖论――“二分法”“追不上乌龟”“飞矢不动”和“运动场”,但是浩天提出的问题,似乎还是没有解决。  浩天:“我的问题还没解决呢!剪刀剪纸上画的线,到底是什么说法?”  鹏飞:“不要急!古希腊的阿布德拉学派认为,万事万物,包括精神和灵魂,都是由在空间移动的原子构成的。这些原子是坚硬且不可再分的微粒,...

  本栏目2018年第6期的故事中,鹏飞和浩天在古希腊街头见识了辩才芝诺的才能,分析了他提出的四个着名悖论――“二分法”“追不上乌龟”“飞矢不动”和“运动场”,但是浩天提出的问题,似乎还是没有解决。


  浩天:“我的问题还没解决呢!剪刀剪纸上画的线,到底是什么说法?”


  鹏飞:“不要急!古希腊的阿布德拉学派认为,万事万物,包括精神和灵魂,都是由在空间移动的原子构成的。这些原子是坚硬且不可再分的微粒,质量相近但是形状和大小各不相同。所有的原子都小得无法被感知。”


  浩天:“是的,德谟克利特将这种观点引入到数学中,认为线、面、体也都是由无穷小的点组成。然后呢?如何解释剪刀剪纸上画的线?”


  鹏飞:“这样‘原子论’就可看成两个部分――‘物理原子论’和‘数学原子论’。‘物理原子论’发展到今天,已经可以解释宏观和微观的许多现象。”


  浩天忽然领悟了:“‘数学原子论’就是认为几何上的‘体’是由‘面’累叠而成,‘面’是由线并列而成,‘线’是由点排列而成,而‘点’就是有位置的‘单子’,‘单子’不可再分。因此毕达哥拉斯认为,一个线段一定是由整数个‘点’组成,所以任意两个线段的长度比一定是整数比,或者说自然数之比,也就是说这个比值一定是有理数。由于所有的几何体都是由点构成的,所以毕达哥拉斯只承认有理数,认为大自然不应该存在其他的数。毕达哥拉斯所谓‘万物皆数’的‘数’,指的就是有理数。我理解了毕达哥拉斯!”


  浩天又想起了被扔到大海里喂鱼的希帕索斯,这个人发现等腰直角三角形的斜边与直角边的比不是有理数。他是第一个发现无理数的人,这让毕达哥拉斯极其恼火,也让今天的浩天若有所思。


  浩天:“无理数的发现说明‘数学原子论’的观点是不对的!”


  鹏飞看时机已到,便说:“用现代的观点看,纸是由原子构成的,剪刀也是由原子构成的,纸上画的线也是由原子构成的。剪刀可以剪开纸,是因为原子间结合力更强大的剪刀原子集团,切断了结合力较小的纸原子之间的连接,是原子与原子之间的分割。剪刀口一定是从纸原子间的空隙穿过去的,也是从所画线的原子之间穿过的。剪刀口并不会剪碎某个纸原子,也不会剪坏某个墨水原子。”


  “是这么回事。”浩天的思维还在数学里,“那如果用一把理想中的数学剪刀来剪几何上的线,又会怎么样呢?它该如何剪断一根几何线?它会剪到一个几何点上吗?”


  鹏飞:“这个嘛……几何上的线,比如一条数轴,是没法剪断的!设想如果它被剪成两段,把这两段分开,那这两段之间是什么?难道还有数吗?”


  浩天:“看来是不能分开!那就不能剪了吗?比如画一条线,再画一条和它相交的线,代表数学剪刀要走的路径,这两条线相交一定会有交点吗?”


  鹏飞:“当然有交点,线是没有空隙的。根据德国数学家戴德金的实数构造理论,如果把一条实数轴在任意一点分割成不相交的左集和右集,那么这个分割点要么属于左集,这时它就是左集的最大值,而右集没有最小值;要么属于右集,这时它就是右集的最小值,而左集没有最大值。没有其他情况……”


  浩天似乎想通了:“实数轴上是不存在‘漏洞’的,它是连�m的。数学上的线,那上面的每一个点,都没有什么紧挨着它的‘相邻点’,因此没有什么从‘两点间的空隙’剪过的概念。用数学剪刀剪一条线时,它的确会剪到一个点上,但这个点不会被一剪为二,它总是在被剪成的两条线中的一条上。而现实世界里的剪刀把实际画出的线剪断,与这不是一回事!”


  浩天一声感叹:


  “也许这就是数学和物理的不同之处吧!”


  鹏飞:“数学上不存在不可再分的‘数学原子’。物理上存在不可再分的‘物理原子’吗?”


  浩天:“物理上的不可再分原子是有条件的,现在所说的原子是化学反应中的最小粒子,化学上的原子还可用物理方法,如核反应来改变。”


  鹏飞:“比原子更小的微粒是质子和中子。在核反应中,质子、中子是不变的,它们是不可再分的吗?”


  浩天:“还有更小的夸克,再小我们得谈论超弦了,再再小……我也不知道了。”


  鹏飞:“看来‘物理原子’也不好说存不存在。也许,这就是数学和物理的相似之处吧!”


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